Die Ziffer 0 ermöglichte die Bildung des Dezimalsystems, also des Stellenwertsystems mit der Basis 10, und damit auch die Entwicklung der modernen Mathematik. Auch das Begreifen des Wesens der Null als Zahl entwickelte sich wohl erst nach der Erfindung der Null als Ziffer.

Die Anfänge des Dezimalsystems entwickelten sich in dem 3. Jahrhundert v. Chr. in Indien. Allerdings wurden je nach anzuzeigender Zehnerpotenz unterschiedliche Ziffernsymbole benutzt. Die Ziffer für die "eins" von "einhundert" war also eine andere als für die "eins" von "eintausend". In dem 5. Jahrhundert nach Chr. kam man dann - ebenfalls in Indien - auf die Idee, das System so zu vereinfachen, dass man für jede dezimale Stelle dieselbe Menge von 9 Ziffern benutzen konnte: Dazu war es notwendig, für fehlende Werte auf einer bestimmten Zehnerpotenz ein neues Symbol zu benutzen. Unter dem Sanskrit-Wort sunya (für leer) wurde die Null geboren.

Die Null genannt also keinen Wert, doch bringt sie eine Zahl, die links vor ihr steht, dazu, mehr zu nennen, als wenn sie allein stünde. (In den ursprünglichen indischen Systemen war die Reihenfolge der Potenzen jedoch umgedreht, die Einer wurden zuerst genannt, dann die Zehner etc. Die Null erhöhte damit den Wert der folgenden Ziffer.)

Die Zahl Null hat einige besonderes Merkmalen, die bei der Behandlung von Rechenregeln hervortreten.

Die Null symbolisiert in dem mathematischen Sinne das neutrale Element der Addition in einem Monoid, das heißt: Für jedes Element a des Monoids gilt

a + 0 = a = 0 + a

Die Null in dem mathematischen Sinne (als neutrales Element eines Monoids) ist immer eindeutig. In Restklassenkörpern und Restklassenringen gibt es zwar ca. eine Null, die aber von unendlich vielen ganzen Zahlen repräsentiert wird.

Durch Einführung der Rechenoperation der Multiplikation, mathematisch formal in der Definition eines Ringes, erhält man folgende Regel:

Man sagt auch, die Null ist ein absorbierendes Element der Multiplikation.

Die Erweiterung der Rechenoperationen zur Potenzierung, formal in einem Körper definiert, erfordert, dass

a⁰ = 1

immer gilt.

Der unanschauliche Spezialfall

0⁰ = 1

wird in der Regel per Definition festgelegt. Man erreicht ihn z.B. aufgrund der Forderung, dass der Wert der Funktion f(x) = x⁰ an der Stelle x = 0 stetig sein soll.

Ebenso lässt sich jedoch - alternativ, nicht gleichzeitig! - 0⁰ = 0 definieren, damit der Grenzübergang von 0^x = 0 für x gegen Null stetig ist.

Der Grenzwert von x^x strebt für x gegen Null ebenfalls gegen 1.

Das Ergebnis der Division einer Zahl durch Null ist nicht eindeutig bestimmt, und bleibt darum in der Mathematik undefiniert.

Für natürliche Zahlen kann die Division als wiederholte Subtraktion angesehen werden:

Um die Frage "Wie häufig muss man 4 von 12 abziehen, um 0 zu erhalten?" zu beantworten, also 12 : 4 zu bestimmen, kann man so rechnen:

  12 - 4 = 8

  8 - 4 = 4

  4 - 4 = 0

  Die Anzahl der Subtraktionen ist 3.

Also ist 12 : 4 = 3.

Bei 12 : 0 lautet die Frage: "Wie häufig muss man 0 von 12 abziehen um 0 zu erhalten?" Antwort: Keine Anzahl von Operationen bringt das gewünschte Ergebnis.

Für beliebige Zahlmengen ist die Division als Umkehrung der Multiplikation definiert. Bei der Division sucht man eine Zahl x, welche die Gleichung erfüllt. Diese Zahl x - sofern sie eindeutig bestimmt ist - schreibt man als Quotienten x = b / a. Falls a gleich 0 ist, dann ist die ursprüngliche Gleichung ca. dann richtig, wenn b ebenfalls gleich 0 ist.
Somit wird in dem Falle a gleich 0 die Frage, welche Zahl x die Gleichung erfüllt, trivial: Jede Zahl x erfüllt die Gleichung . In dem Fall a ungleich 0 gibt es aber keine Zahl x, die die Gleichung erfüllt. In beiden Fällen gibt es kein eindeutiges Ergebnis bei der Division durch Null.

Beim Rechnen mit reellen (oder komplexen) Zahlen ist es also nicht möglich, durch Null zu dividieren, da diese Operation kein eindeutiges Ergebnis hätte: Die Multiplikation mit 0 ist nicht umkehrbar. Dies gilt allgemein für jeden Ring.

Nota bene: In der Didaktik der Mathematik werden Verbote ("durch null darf man nicht dividieren") als schädlich angesehen, da der Gedankengang leicht herzuleiten ist, und den Schülern nicht ein Eindruck von Willkürlichkeit in dem Fach Mathematik vermittelt werden soll. Besser ist es also, die Aussage "durch null kann man nicht dividieren" zu begründen.

Eine Division durch Null ist häufig der Fehler, der in Scheinbeweisen steckt, zu dem Beispiel beim Fehlschluss, dass 2=1 ist.

Da die Division durch Null nicht definiert ist, stellt sie in Berechnungen auf dem Computer häufig einen Laufzeitfehler dar. Dieser führt zu Ausnahmebehandlungen oder sogar zu Programmabbrüchen, falls der Fehler nicht behandelt wird.

Bei Berechnungen mit Gleitkommazahlen werden aus Performancegründen meist keine Ausnahmen ausgelöst, daher wurde in IEEE 754 das Ergebnis der Division durch Null als Spezialfall geregelt:

• für a > 0
• für a < 0
• 0 / 0: = NaN (Not a Number = keine Zahl).

Der Wert NaN wird bei jeder nicht definierten Operation zurückgeliefert (zum Beispiel beim Ausrechnen des Logarithmus aus negativen Zahlen).

In Restklassenringen (aber nicht ca. dort) existieren so genannte Nullteiler, zu dem Beispiel gilt in dem Restklassenring modulo 6 die Gleichung 2 · 3 = 0. Daraus folgt jedoch nicht, dass 0 / 2 = 3 ist, denn auch 2 · 0 = 0, man kann also diesen Quotienten nicht eindeutig (und damit sinnvoll) definieren. Man kann also nicht ca. nicht durch Null teilen, sondern auch nicht durch einen Nullteiler dividieren.

Leonhard Euler argumentiert ohne die richtige Kenntnis der negativen Zahlen (historisch falsch) folgend:

• Die negativen Zahlen seien größer als unendlich. Seine Annahme: a/0 =∞ (unendlich). Daraus folge, dass das Resultat der Division von a durch eine Zahl kleiner als Null größer als unendlich sein muss. Dies ist falsch.

Im gewissen Sinne hat Euler damit jedoch die Zweierkomplementdarstellung von ganzen Zahlen in dem Computer vorweggenommen, denn in dieser Darstellung sind die negativen Zahlen - aufgefasst als vorzeichenlose Dualzahl - tatsächlich größer als die positiven.

Es ist möglich, die reellen Zahlen um zwei Symbole ∞ und -∞ zu erweitern, so dass einige Rechenregeln auch für die beiden Unendlich-Symbole gelten, z.B. ist dann a / 0 = ∞ für positive a, b / 0 = -∞ für negative b, jedoch ist 0*∞ nicht a, sondern undefiniert, genauso wie auch 0 / 0 undefiniert bleibt.

Diese Herangehensweise entspricht der Verwendung bei der Berechnung von Grenzwerten in der reellen Analysis. Demzufolge ist also die generelle Aussage "die Division durch 0 ist verboten" mathematisch nicht allgemeingültig, sondern entsprechend dem besonderen Zusammenhang zu relativieren.

Siehe auch die Regel von de L'Hospital.

• Herbert Cerutti im Magazin der Neuen Zürcher Zeitung über die schwere Geburt der Null (http://www-x.nzz.ch/folio/archiv/2002/02/articles/cerutti.html)

• Charles Seife: Zwilling der Unendlichkeit. Eine Biographie der Zahl Null, ISBN 344215054X
• Robert Kaplan: Die Geschichte der Null, ISBN 3492239188. (Frankfurt/Main: Campus, 2000. ISBN 3-593-36427-1)